5 Model Persamaan Simultan

5.1 Definisi

Persamaan simultan merupakan model yang mempunyai lebih dari satu variabel respon, dimana penyelesaiannya ditentukan oleh kesetimbangan antara gaya-gaya yang berlawanan.

Contoh umum dari masalah persamaan simultan ekonomi adalah model penawaran dan permintaan, dimana harga dan kuantitas saling bergantung dan ditentukan oleh interaksi antara penawaran dan permintaan.

5.2 Spesifikasi Model

5.2.1 Persamaan Struktural

model ekonomi seperti persamaan permintaan dan penawaran mencakup beberapa variabel dependen (endogen) dalam setiap persamaan. Model seperti ini disebut bentuk struktural model.

5.2.2 Persamaan reduced

Jika bentuk strukturalnya ditransformasikan sedemikian rupa sehingga setiap persamaan menunjukkan satu variabel terikat sebagai fungsi dari variabel bebas eksogen saja, maka bentuk baru tersebut disebut bentuk tereduksi . Bentuk tereduksi dapat diperkirakan dengan kuadrat terkecil, sedangkan bentuk struktural tidak dapat diperkirakan karena memuat variabel endogen di sisi kanannya.

5.3 Permasalahan Identifikasi

Kondisi yang diperlukan untuk identifikasi mensyaratkan bahwa, agar masalah memiliki solusi, setiap persamaan dalam bentuk struktural sistem harus melewatkan setidaknya satu variabel eksogen yang ada dalam persamaan lainnya.

5.4 Langkah-langkah dengan Contoh 1

Persamaan struktural permintaan dan penawaran (Persamaan 1 Dan 2) dirumuskan berdasarkan teori ekonomi; kuantitas dan harga bersifat endogen, dan semua variabel lainnya dianggap eksogen.

\[ q_d=\alpha_1 +\alpha_2 p +\alpha_3 ps +\alpha_4 di+e_d \] \[ q_s=\beta_1 +\beta_2 p +\beta_3 pf+e_s \]

Show the code

rm(list=ls()) #Removes all items in Environment!
library(systemfit)
library(broom) #for `glance(`) and `tidy()`
library(PoEdata) #for PoE4 dataset
library(knitr) #for kable()

Show the code

data("truffles", package="PoEdata")
D <- q~p+ps+di
S <- q~p+pf
sys <- list(D,S)
instr <- ~ps+di+pf
truff.sys <- systemfit(sys, inst=instr, 
                       method="2SLS", data=truffles)
summary(truff.sys)


systemfit results 
method: 2SLS 

        N DF     SSR detRCov   OLS-R2 McElroy-R2
system 60 53 692.472 49.8028 0.438964   0.807408

     N DF      SSR      MSE    RMSE        R2    Adj R2
eq1 30 26 631.9171 24.30450 4.92996 -0.023950 -0.142098
eq2 30 27  60.5546  2.24276 1.49758  0.901878  0.894610

The covariance matrix of the residuals
         eq1     eq2
eq1 24.30451 2.16943
eq2  2.16943 2.24276

The correlations of the residuals
        eq1     eq2
eq1 1.00000 0.29384
eq2 0.29384 1.00000


2SLS estimates for 'eq1' (equation 1)
Model Formula: q ~ p + ps + di
Instruments: ~ps + di + pf

             Estimate Std. Error  t value  Pr(>|t|)   
(Intercept) -4.279471   5.543884 -0.77193 0.4471180   
p           -0.374459   0.164752 -2.27287 0.0315350 * 
ps           1.296033   0.355193  3.64881 0.0011601 **
di           5.013977   2.283556  2.19569 0.0372352 * 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 4.92996 on 26 degrees of freedom
Number of observations: 30 Degrees of Freedom: 26 
SSR: 631.917143 MSE: 24.304505 Root MSE: 4.92996 
Multiple R-Squared: -0.02395 Adjusted R-Squared: -0.142098 


2SLS estimates for 'eq2' (equation 2)
Model Formula: q ~ p + pf
Instruments: ~ps + di + pf

              Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
(Intercept) 20.0328022  1.2231148  16.3785 1.5543e-15 ***
p            0.3379816  0.0249196  13.5629 1.4344e-13 ***
pf          -1.0009094  0.0825279 -12.1281 1.9456e-12 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.497585 on 27 degrees of freedom
Number of observations: 30 Degrees of Freedom: 27 
SSR: 60.554565 MSE: 2.242762 Root MSE: 1.497585 
Multiple R-Squared: 0.901878 Adjusted R-Squared: 0.89461

Show the code

Q.red <- lm(q~ps+di+pf, data=truffles)
P.red <- lm(p~ps+di+pf, data=truffles)
kable(tidy(Q.red), digits=4,
      caption="Reduced form for quantity")

Reduced form for quantity
term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	7.8951	3.2434	2.4342	0.0221
ps	0.6564	0.1425	4.6051	0.0001
di	2.1672	0.7005	3.0938	0.0047
pf	-0.5070	0.1213	-4.1809	0.0003

Show the code

kable(tidy(P.red), digits=4,
      caption="Reduced form for price")

Reduced form for price
term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	-32.5124	7.9842	-4.0721	4e-04
ps	1.7081	0.3509	4.8682	0e+00
di	7.6025	1.7243	4.4089	2e-04
pf	1.3539	0.2985	4.5356	1e-04

5.5 Contoh 2

Show the code

data("fultonfish", package="PoEdata")
fishQ.ols <- lm(lquan~mon+tue+wed+thu+stormy, data=fultonfish)
kable(tidy(fishQ.ols), digits=4,
      caption="Reduced 'Q' equation for the fultonfish example")

Reduced ‘Q’ equation for the fultonfish example
term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	8.8101	0.1470	59.9225	0.0000
mon	0.1010	0.2065	0.4891	0.6258
tue	-0.4847	0.2011	-2.4097	0.0177
wed	-0.5531	0.2058	-2.6875	0.0084
thu	0.0537	0.2010	0.2671	0.7899
stormy	-0.3878	0.1437	-2.6979	0.0081

Show the code

fishP.ols <- lm(lprice~mon+tue+wed+thu+stormy, data=fultonfish)
kable(tidy(fishP.ols), digits=4,
      caption="Reduced 'P' equation for the fultonfish example")

Reduced ‘P’ equation for the fultonfish example
term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	-0.2717	0.0764	-3.5569	0.0006
mon	-0.1129	0.1073	-1.0525	0.2950
tue	-0.0411	0.1045	-0.3937	0.6946
wed	-0.0118	0.1069	-0.1106	0.9122
thu	0.0496	0.1045	0.4753	0.6356
stormy	0.3464	0.0747	4.6387	0.0000

Show the code

fish.D <- lquan~lprice+mon+tue+wed+thu
fish.S <- lquan~lprice+stormy
fish.eqs <- list(fish.D, fish.S)
fish.ivs <- ~mon+tue+wed+thu+stormy
fish.sys <- systemfit(fish.eqs, method="2SLS", 
              inst=fish.ivs, data=fultonfish)
summary(fish.sys)


systemfit results 
method: 2SLS 

         N  DF     SSR  detRCov   OLS-R2 McElroy-R2
system 222 213 109.612 0.107301 0.094242  -0.597812

      N  DF     SSR      MSE     RMSE       R2   Adj R2
eq1 111 105 52.0903 0.496098 0.704342 0.139124 0.098130
eq2 111 108 57.5218 0.532610 0.729801 0.049360 0.031755

The covariance matrix of the residuals
         eq1      eq2
eq1 0.496098 0.396138
eq2 0.396138 0.532610

The correlations of the residuals
         eq1      eq2
eq1 1.000000 0.770653
eq2 0.770653 1.000000


2SLS estimates for 'eq1' (equation 1)
Model Formula: lquan ~ lprice + mon + tue + wed + thu
Instruments: ~mon + tue + wed + thu + stormy

              Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
(Intercept)  8.5059113  0.1661669 51.18896 < 2.22e-16 ***
lprice      -1.1194169  0.4286450 -2.61152  0.0103334 *  
mon         -0.0254022  0.2147742 -0.11827  0.9060766    
tue         -0.5307694  0.2080001 -2.55177  0.0121574 *  
wed         -0.5663511  0.2127549 -2.66199  0.0089895 ** 
thu          0.1092673  0.2087866  0.52334  0.6018373    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.704342 on 105 degrees of freedom
Number of observations: 111 Degrees of Freedom: 105 
SSR: 52.090321 MSE: 0.496098 Root MSE: 0.704342 
Multiple R-Squared: 0.139124 Adjusted R-Squared: 0.09813 


2SLS estimates for 'eq2' (equation 2)
Model Formula: lquan ~ lprice + stormy
Instruments: ~mon + tue + wed + thu + stormy

               Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  8.62835440  0.38897023 22.18256  < 2e-16 ***
lprice       0.00105931  1.30954697  0.00081  0.99936    
stormy      -0.36324606  0.46491248 -0.78132  0.43632    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.729801 on 108 degrees of freedom
Number of observations: 111 Degrees of Freedom: 108 
SSR: 57.521843 MSE: 0.53261 Root MSE: 0.729801 
Multiple R-Squared: 0.04936 Adjusted R-Squared: 0.031755