3  Interpretasi Model

Perbedaan spesifikasi model sering merubah cara kita menginterpretasikan hubugan antar variabel. Hal ini dapat dibuktikan dari beberapa penurunan spesifikasi model berikut:

3.1 Model Linear-Linear

\[\begin{equation} y=\beta_0+\beta_1 x \end{equation}\]

Misalkan:

• nilai awal \(y=y_0\),dan nilai awal \(x=x_0\).
• nilai akhir \(y=y_1\), dan nilai akhir \(x=x_1\).

Jelaskan hubungan x dan y jika \(x_1=x_0+1\)

3.1.1 Persamaan awal

\[y_0=\beta_0+\beta_1 x_0\]

3.1.2 Pembuktian

\[\begin{equation} \begin{aligned} y_1 &= \beta_0 + \beta_1 x_1 \\ &= \beta_0 + \beta_1 (x_0 + 1)\\ &= \beta_0 + \beta_1 x_0 + \beta_1\\ &= y_0 + \beta_1 \\ \beta_1 &= y_1 - y_0\\ &= \Delta y \end{aligned} \end{equation}\]

Sehingga \(\beta_1=\Delta y\)

3.1.3 Interpretasi \(\beta_1\)

Ketika X meningkat sebesar 1 satuan x, maka terjadi perubahan pada y sebesar \(\beta_1\) satuan y.

3.2 Model Linear-Log

\[\begin{equation} y=\beta_0+\beta_1 log(x) \end{equation}\]

Misalkan:

• nilai awal \(y=y_0\),dan nilai awal \(x=x_0\).
• nilai akhir \(y=y_1\), dan nilai akhir \(x=x_1\).

Jelaskan hubungan x dan y jika \(x_1=x_0\times 1.01\). Mengapa bukan \(x_1=x_0+1\)? karena \(log(x_0\times 1.01)\) lebih mudah untuk di breakdown dibandingkan \(log(x_0+1)\)

3.2.1 Persamaan awal

\[y_0=\beta_0+\beta_1 log (x_0)\]

Pembuktian

\[\begin{equation} \begin{aligned} y_1 &= \beta_0 + \beta_1 log(x_1) \\ &= \beta_0 + \beta_1 log(x_0 \times 1.01)\\ &= \beta_0 + \beta_1 log(x_0) + \beta_1 log (1.01)\\ &= y_0 + \beta_1 log(1.01)\\ \beta_1 &= \frac{y_1 - y_0}{log(1.01)}\\ &= \frac{\Delta y}{0.01}\\ \beta_1 & = 100 \times \Delta y\\ \frac{\beta_1}{100} &= \Delta y \end{aligned} \end{equation}\]

Sehingga:

• \(\beta_1= 100 \times \Delta y\), Atau
• \(\frac{\beta_1}{100} = \Delta y\)

3.2.2 Interpretasi \(\beta_1\)

Ketika X meningkat sebesar 1 persen, maka terjadi perubahan pada y sebesar \(\beta_1/100\) satuan y.

3.3 Model Log-Linear

\[\begin{equation} log(y)=\beta_0+\beta_1 x \end{equation}\]

Misalkan:

• nilai awal \(y=y_0\),dan nilai awal \(x=x_0\).
• nilai akhir \(y=y_1\), dan nilai akhir \(x=x_1\).

Jelaskan hubungan x dan y jika \(x_1=x_0+1\)

3.3.1 Persamaan awal

\[log(y_0)=\beta_0+\beta_1 x_0\]

3.3.2 Pembuktian

\[\begin{equation} \begin{aligned} log(y_1) &= \beta_0 + \beta_1 x_1 \\ &= \beta_0 + \beta_1 (x_0 + 1)\\ &= \beta_0 + \beta_1 x_0 + \beta_1\\ &= log(y_0) + \beta_1 \\ \beta_1 &= log(y_1) - log(y_0)\\ &= log(\frac{y_1}{y_0}) \end{aligned} \end{equation}\]

Sehingga \(\beta_1=log(\frac{y_1}{y_0})\)

Atau Rasio \(y_1/y_0\) dapat direpresentasikan oleh \(e^{\beta_1}\)

3.3.3 Interpretasi \(\beta_1\)

Ketika X meningkat sebesar 1 satuan x, maka terjadi perubahan pada log(y) sebesar \(\beta_1\). Menariknya, hal ini akan mendekati perubahan relatifnya sehingga interpretasi sederhananya menjadi “Ketika X meningkat sebesar 1 satuan x, maka terjadi perubahan pada y sebesar \(\beta_1\) persen.

3.4 Model Log-Log (Double Log)

\[\begin{equation} log(y)=\beta_0+\beta_1 log(x) \end{equation}\]

Misalkan:

• nilai awal \(y=y_0\),dan nilai awal \(x=x_0\).
• nilai akhir \(y=y_1\), dan nilai akhir \(x=x_1\).

Jelaskan hubungan x dan y jika \(x_1=x_0\times 1.01\). Mengapa bukan \(x_1=x_0+1\)? karena \(log(x_0\times 1.01)\) lebih mudah untuk di breakdown dibandingkan \(log(x_0+1)\)

3.4.1 Persamaan awal

\[log(y_0)=\beta_0+\beta_1 log (x_0)\]

Pembuktian

\[\begin{equation} \begin{aligned} log(y_1) &= \beta_0 + \beta_1 log(x_1) \\ &= \beta_0 + \beta_1 log(x_0 \times 1.01)\\ &= \beta_0 + \beta_1 log(x_0) + \beta_1 log (1.01)\\ &= log(y_0) + \beta_1 log(1.01)\\ \beta_1 &= \frac{log(y_1) - log(y_0)}{log(1.01)}\\ &= \frac{log(y_1/y_0)}{0.01}\\ \beta_1 & = 100 \times log(y_1/y_0) \end{aligned} \end{equation}\]

Sehingga:

• \(\beta_1= 100 \times log(y_1/y_0)\), Atau
• \(\frac{\beta_1}{100} = log(y_1/y_0)\), Atau
• \(e^{\frac{\beta_1}{100}} = y_1/y_0\), Atau
• \(y_1=y_0 \times e^{\frac{\beta_1}{100}}\)

3.4.2 Interpretasi \(\beta_1\)

Ketika X meningkat sebesar 1 persen, maka terjadi perubahan pada y, sehingga y menjadi sebesar \(y_0 \times e^{\frac{\beta_1}{100}}\). Atau sederhananya Ketika X meningkat sebesar 1 persen, maka terjadi peningkatan pada y sebesar \(\beta_1\) persen.

3.5 Model Logit

Logit merupakan sebuah bentuk khusus. y nya biasanya bersifat nominal(misalnya: ya/tidak, sehat/tidak). Lalu bagaimana interpretasinya

\[\begin{equation} y=log(p/1-p)=\beta_0+\beta_1 x \end{equation}\]

Misalkan:

• nilai awal \(y=y_0\),dan nilai awal \(x=x_0\).
• nilai akhir \(y=y_1\), dan nilai akhir \(x=x_1\).

Jelaskan hubungan x dan y jika \(x_1=x_0+1\)

3.5.1 Persamaan awal

\[y_0=log(\frac{p_0}{1-p_0})=\beta_0+\beta_1 x_0\]

3.5.2 Pembuktian

\[\begin{equation} \begin{aligned} y_1 &= \beta_0 + \beta_1 x_1 \\ &= \beta_0 + \beta_1 (x_0 + 1)\\ &= \beta_0 + \beta_1 x_0 + \beta_1\\ &= y_0 + \beta_1 \\ \beta_1 &= y_1 - y_0\\ &= log(\frac{p_1}{1-p_1})-log(\frac{p_0}{1-p_0})\\ &= log \left( \frac{p_1/1-p_1}{p_0/1-p_0} \right) \end{aligned} \end{equation}\]

Sehingga \(\beta_1=log \left( \frac{p_1/(1-p_1)}{p_0/(1-p_0)} \right)\), Atau

\(e^{\beta_1}= \frac{p_1/(1-p_1)}{p_0/(1-p_0)}\), Atau

\(\frac{p_1}{(1-p_1)} =e^{\beta_1} \times \frac{p_0}{(1-p_0)}\)

3.5.3 Interpretasi \(\beta_1\)

Ketika X meningkat sebesar 1 satuan x, maka odds nya meningkat \(e^{\beta_1}\) kalinya dibandingkan dengan odds awalnya.

Penjelasan terkait odds dapat ditemukan di halaman ini.